Turunan Fungsi

pada tanggal








Turunan Fungsi

Turunan Fungsi
Pengertian Turunan Fungsi

  Turunan fungsi adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan.

 Perbedaan Differensial dan Derivative 

  • Differensial

Differensial
Ketika garis singgung menyinggung grafik f pada titik (c, f(c))
Persamaan Garis Singgung
digunakan sebagai perkiraan grafik f, kuantitas x – c disebut sebagai perubahan dalam x, dan dinotasikan sebagai ∆x, seperti yang ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Diferensial
Jika ∆x kecil, maka perubahan di y (dinotasikan dengan ∆y) dapat diperkirakan seperti berikut.
Perubahan y
Untuk pendekatan yang seperti itu, kuantitas ∆x biasanya dinotasikan dengan dx, dan disebut diferensial x. Bentuk f ’(x)dx dinotasikan dengan dy, dan disebut sebagai diferensial y.
Definisi Diferensial
Misalkan y = f(x) merupakan suatu fungsi yang dapat diturunkan pada selang buka yang memuat x. Diferensial x (dinotasikan dengan dx) adalah sebarang bilangan real tidak nol. Diferensial y (dinotasikan dengan dy) adalah
dy
Dalam berbagai jenis penerapan, diferensial y dapat digunakan sebagai perkiraan perubahan di y. Yaitu,
Delta y
Contoh 2: Membandingkan ∆y dan dy
Misalkan y = x². Tentukan dy ketika x = 1 dan dx = 0,01. Bandingkan nilai ini dengan ∆yuntuk x = 1 dan ∆x = 0,01.
Pembahasan Karena y = f(x) = x², kita memiliki f ’(x) = 2x, dan diferensial dy adalah
Contoh 2 dy
Sekarang, dengan menggunakan ∆x = 0,01, perubahan di y adalah
Contoh 2 Delta y
Gambar di bawah menunjukkan perbandingan dy dan ∆y secara geometris. Apabila kita mencoba nilai-nilai lain dy dan ∆y, kita akan melihat bahwa kedua nilai tersebut akan semakin dekat satu sama lain jika dx (atau ∆x) mendekati 0.
Contoh 2
Pada Contoh 2, persamaan garis singgung grafik f(x) = x² pada x = 1 adalah 2x – 1. Untuk nilai-nilai x yang dekat dengan 1, garis ini akan dekat ke grafik f, seperti yang ditunjukkan gambar di atas dan tabel berikut.
Contoh 2 Tabel

Jadi,turunan adalah hasil pembagian antara 2 buah diferensial.Sebagai contoh,Jika kita mengatakan bahwa "turunan dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah BENAR, karena . Tapi, akan SALAH jika turunan disamakan dengan diferensial. Jika kita mengatakan bahwa "diferensial dari  adalah ", maka pernyataan itu adalah SALAH. Kalau ingin betulnya, harus seperti ini: "diferensial dari  adalah dikalikan dengan diferensial x" atau dapat ditulis begini: 
Lalu, kenapa dinamakan diferensial?Ingat-ingat kembali rumus turunan:
Diferensial adalah selisih variabel (Ingat "difference" dalam bahasa inggris artinya "beda", bukan?).. Sekadar mengingatkan, di rumus di atas, maka x adalah variabel bebas sedangkan y adalah variabel terikat.. Sebenarnya, bisa saja rumusnya begini:
Di atas maka y adalah variabel bebas sedangkan nilai x terikat terhadap variabel y.Jika , maka  



  • Derivative 

Derivative 


 Proses penurunan sebuah fungsi disebut proses pendiferensian atau diferensiasi,merupakan penentuan limit suatu kuosien diferensiasi dalam pertambahan variable bebas yang sangat kecil atau mendekati nol.
Hasil dari proses pendiferensiasi disebut turunan atau derivative.
Dengan demikian :  Jika y = f (x)
Maka kuosien diferensinya : ( kd) :
Dan turunan fungsinya :
Contoh
Persamaan                  y = 4x2 – x
Kuosien difrensiasi :     = 8 x + 3 x -1
                                      = 8x +3(0) -1
                                      = 8x – 1
Jadi turunan (derivatif) dari fungsi  y = 4 x2 – x  adalah:  8 x – 1


Kaidah-kaidah diferensiasi

1.Diferensiasi konstanta

  Jika y = k, dimana k adalah konstanta, maka dy/dx = 0

  contoh : y = 5 à dy/dx = 0


2.Diferensiasi fungsi pangkat

  Jika y = xn, dimana n adalah konstanta, maka dy/dx = nxn-1

  contoh : y=x3àdy/dx=3x3-1=3x2


3. Diferensiasi perkalian konstanta    dengan fungsi

  Jika y = kv, dimana v = h(x),

  à dy/dx = k dv/dx

  contoh : y = 5x3 à dy/dx = 5(3x2) = 15x2


4.   Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi

  jika y = k/v, dimana v=h(x), maka :

 

 

5. Diferensiasi penjumlahan (pengurangan) fungsi

  jika y = u + v, dimana u = g(x) dan v = h(x)

  maka dy/dx = du/dx + dv/dx

  contoh : y = 4x2 + x3  à u = 4x2 du/dx = 8x

       à v = x3 dv/dx = 3x2

  dy/dx =du/dx + dv/dx = 8x + 3x2


6. Diferensiasi perkalian fungsi

  Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)


7. Diferensiasi pembagian fungsi

   Jika y = u/v. dimana u = g(x) dan v = h(x)

  
 

Rumus turunan dasar

  Umum

  • {\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}\,}
  • {\displaystyle (u^{n})'=nu^{n-1}u'\,}
  • {\displaystyle (u+v)'=u'+v'\,}
  • {\displaystyle (u-v)'=u'-v'\,}
  • {\displaystyle (uv)'=u'v+uv'\,}
  • {\displaystyle ({\frac {u}{v}})'={\frac {u'v-uv'}{v^{2}}}\,}

 Eksponen dan bilangan natural

  • {\displaystyle (e^{x})'=e^{x}\,}
  • {\displaystyle (a^{x})'=a^{x}lna\,}

 Logaritma dan bilangan natural

  • {\displaystyle (lnx)'={\frac {1}{x}}\,}
  • {\displaystyle (log_{a}(x))'={\frac {1}{xlna}}\,}

 Trigonometri

  • {\displaystyle (\sin x)'=cosx\,}
  • {\displaystyle (\cos x)'=-sinx\,}
  • {\displaystyle (\tan x)'=sec^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\cot x)'=-csc^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\sec x)'=secxtanx\,}
  • {\displaystyle (\csc x)'=-cscxcotx\,}
 Invers
  • {\displaystyle (\arcsin x)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • {\displaystyle (\arccos x)'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  • {\displaystyle (\arctan x)'={\frac {1}{1+x^{2}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arccot} x)'=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arcsec} x)'={\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
  • {\displaystyle (\operatorname {arccsc} x)'=-{\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
 Hiperbolik
  • {\displaystyle (\sinh x)'=coshx\,}
  • {\displaystyle (\cosh x)'=sinhx\,}
  • {\displaystyle (\tanh x)'=sech^{2}x\,}
  • {\displaystyle (\coth x)'=-csch^{2}x\,}


   KONSEP DASAR TURUNAN

     Turunan (derivatif) membahas tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil     dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
    Langkah-langkah untuk mencari turunan pertama ialah:
    (1)   Tentukan kenaikan x dan y untuk memperoleh
    y +  f(x + 
    (2)   Kurangkan y = f(x) dari hasil butir (1) itu untuk memperoleh
     = f(x +  f(x)
    (3)   Bagi rumusan butir (2) dengan untuk memperoleh hasil bagi diferensiasi
    = 
    (4)   Tentukan limit dari hasil bagi diferensiasi itu ketika  0, sehingga diperoleh turunan pertama.

    Turunan Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
        Penjumlahan Fungsi 
    Contoh
    Jika f(x) = 5x + 4 dan g(x) = 6x² + 2x + 3
                       (f + g)(x) = f(x) + g(x) =
    5x + 4 + 6x² + 2x + 3 = 6x² + 5x + 2x + 4 + 3
                                       = 6x² + 7x + 7.
      
         Pengurangan Fungsi
    Contoh
    Jika f(x) = 5x + 4 dan g(x) = 6x² + 2x + 3, maka
    (f - g)(x) = f(x) - g(x)
                   = 5x + 4 - (6x² + 2x + 3)
                   = -6x² + 5x - 2x + 4 - 3
                   = -6x² + 3x + 1.


    Turunan Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
         Fungsi  Perkalian    f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)
     
     Contoh  
    tentukan Y' dari 
    Y= (2x²+x)(4x+1)



    Jawab:

    U=2x²+x

    U’=4x+1

    V=4x+1

    V’=4

    Y’=U’V+UV’

    Y’=(4X+1)(4x+1)+(2x²+x)(4)

    Y’=(16x²+4x+4x+1)+(8x²+4x)

    Y’=24x²+12x+1

    Fungsi  Pembagian
         Jika kita memiliki persamaan y= f(x)/g(x), dengan f(x), g(x) memiliki satu variabel linear; atau dapat kita tulis y=(ax + b)/(cx+d), maka untuk mendapatkan nilai turunannya adalah kita biasa memisalkan ax+b=u dan cx+d=v, sehingga kita mendapatkan nilai turunan sebagai berikut







    Jawab:



















         Fungsi Trigonometri

               Diferensiasi fungsi trigonometri atau turunan fungsi trigonometri adalah proses matematis untuk menemukanturunan suatu fungsi trigonometri atau tingkat perubahan terkait dengan suatu variabelnya. Fungsi trigonometri yang umum digunakan adalah sin(x), cos(x) dan tan(x). Contohnya, turunan "f(x) = sin(x)" dituliskan "f ′(a) = cos(a)". "f ′(a)" adalah tingkat perubahan sin(x) di titik "a". Semua turunan fungsi trigonometri lingkaran dapat ditemukan dengan menggunakan turunan sin(x) dan cos(x). Kaidah hasil bagi lalu digunakan untuk menemukan turunannya. Sementara itu, pencarian turunan fungsi trigonometri invers membutuhkan diferensiasi inplisit dan turunan fungsi trigonometri biasa.
      
    Turunan fungsi trigonometri
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)=\sec ^{2}(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-\csc ^{2}(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}\cdot {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}\cdot {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccot}}(x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcsec}}(x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccsc}}(x)={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

    contoh-contoh soal:

    Soal No. 1
    Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
    a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
    b) f(x) = 2x3 + 7x
    Pembahasan
    Rumus turunan fungsi aljabar bentuk axn
    Sehingga:
    a) f(x) = 3x4 + 2x2 − 5x
    f ‘(x) = 4⋅3x4− 1 + 2⋅2x2−1 − 5x1-1
    f ‘(x) = 12x3 + 4x1 − 5x0
    f ‘(x) = 12x3 + 4x − 5
    b) f(x) = 2x3 + 7x
    f ‘(x) = 6x2 + 7
    Soal No. 2
    Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
    a) f(x) = 10x
    b) f(x) = 8
    c) f(x) = 12
    Pembahasan
    a) f(x) = 10x
    f(x) = 10x1
    f ‘(x) = 10x1−1
    f ‘(x) = 10x0
    f ‘(x) = 10
    b) f(x) = 8
    f(x) = 8x0
    f ‘(x) = 0⋅ 8x0−1
    f ‘(x) = 0
    c) f(x) = 12
    f ‘(x) = 0
    Soal No. 3
    Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
    a) f(x) = 5(2x2 + 4x)
    b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)
    Pembahasan
    Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
    a) f(x) = 5(2x2 + 4x)
    f(x) = 10x2 + 20x
    f ‘ (x) = 20x + 20
    b) f(x) = (2x + 3)(5x + 4)
    Urai terlebih dahulu hingga menjadi
    f (x) = 10x2 + 8x + 15x + 12
    f (x) = 10x2 + 13x + 12
    Sehingga
    f ‘ (x) = 20x + 13


    Semoga Bermanfaat Temen-Temen 
    Terimakasih 





    DIFER

    Komentar

    Posting Komentar